- LG a
- LG b
- LG c
Cho ba đường thẳng \[{\Delta _1}:3x + 4y - 1 = 0\]; \[{\Delta _2}:4x + 3y - 8 = 0\], \[d:2x + y - 1 = 0\]
LG a
Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\].
Phương pháp giải:
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] là \[\dfrac{{\left| {ax + by + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {a'x + b'y + c'} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[M[x;y]\] nằm trên đường phân giác. Khi đó
\[d\left[ {M,{\Delta _1}} \right] = d\left[ {M,{\Delta _2}} \right]\] \[\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3x + 4y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{\left| {4x + 3y - 8} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 1 = 4x + 3y - 8\\3x + 4y - 1 = - \left[ {4x + 3y - 8} \right]\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - 7 = 0\\7x + 7y - 9 = 0\end{array} \right.\]
Vậy \[x - y - 7 = 0\]\[[{d_1}]\] hay \[x + y - \dfrac{9}{7} = 0\]\[\left[ {{d_2}} \right]\].
LG b
Xác định tọa độ tâm \[I\] của đường tròn \[\left[ C \right]\] biết rằng \[I\] nằm trên \[d\] và \[\left[ C \right]\] tiếp xúc với \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\].
Phương pháp giải:
\[\left[ C \right]\] tiếp xúc với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] nếu tâm \[I\] nằm trên đường phân giác của \[{\Delta _1},{\Delta _2}\].
Tìm giao điểm của \[d\] và đường phân giác vừa viết ở câu a.
Lời giải chi tiết:
\[\left[ C \right]\] tiếp xúc với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] nếu tâm \[I\] nằm trên đường phân giác của \[{\Delta _1},{\Delta _2}\].
TH1: \[I \in {d_1} \Rightarrow I = d \cap {d_1}\]. Tọa độ của \[I\] thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 7 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\y = - \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right.\]
TH2: \[I \in {d_2} \Rightarrow I = d \cap {d_2}\]. Tọa độ của \[I\] thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{9}{7} = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{7}\\y = \dfrac{{11}}{7}\end{array} \right.\]
Suy ra \[{I_1}\left[ {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{{13}}{3}} \right]\], \[{I_2}\left[ { - \dfrac{2}{7};\dfrac{{11}}{7}} \right]\].
LG c
Viết phương trình của \[\left[ C \right]\].
Phương pháp giải:
Tính bán kính và viết phương trình theo công thức
Lời giải chi tiết:
Bán kính đường tròn thứ nhất là \[{R_1} = d\left[ {{I_1},{\Delta _1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| {3.\dfrac{8}{3} + 4.\left[ { - \dfrac{{13}}{3}} \right] - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{31}}{{15}}\].
Suy ra \[\left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x - \dfrac{8}{3}} \right]^2} + {\left[ {y + \dfrac{{13}}{3}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{{31}}{{15}}} \right]^2}\].
Bán kính đường tròn thứ hai là \[{R_2} = d\left[ {{I_2},{\Delta _1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| {3.\left[ { - \dfrac{2}{7}} \right] + 4.\dfrac{{11}}{7} - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{31}}{{35}}\]
Suy ra \[\left[ {{C_2}} \right]:{\left[ {x + \dfrac{2}{7}} \right]^2} + {\left[ {y - \dfrac{{11}}{7}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{{31}}{{35}}} \right]^2}\].