- LG a
- LG b
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\] với mọi \[n 1\].
LG a
Hãy tính u2, u4và u6.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \]
LG b
Chứng minh rằng \[u_n= 5n 2\] với mọi \[n 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh : \[u_n= 5n 2\] [1] với mọi \[n \in \mathbb N^*\], bằng phương pháp qui nạp.
+] Với \[n = 1\], ta có \[u_1= 3 = 5.1 2\]
Vậy [1] đúng khi \[n = 1\].
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k, k\in \mathbb N^*\], tức là:
\[u_k=5k-2\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số [un] và giả thiết qui nạp ta có :
\[{u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \]
\[= 5k - 2 + 5 = 5\left[ {k + 1} \right] - 2\]
Do đó [1] đúng với mọi \[n\in \mathbb N^*\].
Cách khác:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\
{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\
...\\
{u_3} = {u_2} + 5\\
{u_2} = {u_1} + 5\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= \left[ {{u_{n - 1}} + 5} \right] + \left[ {{u_{n - 2}} + 5} \right] + ...\\
+ \left[ {{u_2} + 5} \right] + \left[ {{u_1} + 5} \right]\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\
+ \left[ {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right][\text{ n-1 số 5}]\\
\Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left[ {n - 1} \right]\\
\Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2
\end{array}\]