- LG a
- LG b
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = AA = a, AC = 2a.
LG a
Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng [ACD]
Giải chi tiết:
a. Xét tứ diện DACD có DA, DC, DD đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng [ACD] được tính bởi hệ thức :
\[{1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {D{A^2}}} + {1 \over {D{C^2}}} + {1 \over {DD{'^2}}}\]
Ta có: DC = a. DD = a
\[AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{'^2}\]
Hay \[4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2},\]tức là \[D{A^2} = 2{a^2}\]
Vậy \[{1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {2{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} = {5 \over {2{a^2}}}\]
Do đó : \[DH = {{a\sqrt {10} } \over 5}\]
LG b
Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.
Giải chi tiết:
Vì CD = DD = a nên CD CD. Mặt khác AD [CDDC] nên CD AC và CD mp[ACD]. Gọi giao điểm của CD với mp[ACD] là I. Trong mp[ACD] kẻ IJ vuông góc với AC tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC và CD.
Ta tính khoảng cách giữa AC và CD
Ta có: ΔCJI đồng dạng ΔCDA nên \[{{IJ} \over {AD}} = {{IC'} \over {AC'}}\]
Suy ra : \[IJ = AD.{{C'D} \over {2AC'}}\]
Mặt khác \[C'D = a\sqrt 2 \] nên \[IJ = a\sqrt 2 .{{a\sqrt 2 } \over {2.2a}} = {a \over 2}\]