Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat A = {20^0},\] vẽ tam giác đều DBC [D nằm trong tam giác ABC]. Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh rằng :
a] Tia AD là phân giác góc BAC.
b] AM = BC.
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác ADB và ADC ta có:
AD là cạnh chung
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
DB = DC [tam giác DBC đều]
Do đó: \[\Delta ADB = \Delta ADC[c.c.c] \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\]
Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.
b] Ta có: \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat {BAC}} \over 2} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\] [AD là tia phân giác của góc BAC]
Tam giác ABC có: \[\eqalign{ & \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = {180^0} \cr & \Leftrightarrow \widehat {ABC} + {20^0} + \widehat {ABC} = {180^0} \cr & \Rightarrow 2\widehat {ABC} = {180^0} - {20^0} = {160^0} \cr & \Rightarrow \widehat {ABC} = {80^0} \cr} \]
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC}\]
Nên \[\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} + {60^0} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} = {20^0}.\]
Ta có: \[\widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{\widehat {ABD}} \over 2}\] [BM là tia phân giác của góc ABD]
\[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\]
Xét tam giác AMB và BDA có:
\[\widehat {ABM} = \widehat {BAD}[ = {10^0}]\]
AB là cạnh chung
\[\widehat {MAB} = \widehat {DBA}[ = {20^0}]\]
Do đó: \[\Delta AMB = \Delta BDA[g.c.g] \Rightarrow AM = BD.\]
Mà BD = BC [tam giác BCD đều] nên AM = BC.