Đề bài
Cho một nửa đường tròn bán kính \[AB\]. Điểm \[M\] chạy trên nửa đường tròn. Kẻ \[MH\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Đặt \[MH = x.\]
\[a]\] Chứng minh rằng hai tam giác \[AHM\] và \[MHB\] đồng dạng.
\[b]\] Chứng minh rằng \[AH.BH = M{H^2}\].
\[c]\] Khi \[M\] chuyển động thì \[x\] thay đổi, do đó tích \[AH.BH\] cũng thay đổi theo. Kí hiệu tích \[AH.BH\] bởi \[P[x].\] Hỏi \[P[x]\] có phải là một hàm số của biến số \[x\] hay không\[?\] Viết công thức biểu thị hàm số này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
+] Nếu hai tam giác đồng dạng ta suy ra được các cạnh tương ứng tỉ lệ.
+] Nếu đại lượng \[y\] phụ thuộc vào đại lượng thay đổi \[x\] sao cho với mỗi giá trị của \[x\], ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của \[y\] thì \[y\] được gọi là hàm số của \[x.\]
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[ AMB\] nội tiếp trong đường tròn có \[AB\] là đường kính nên \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 90^\circ \] \[ [1]\]
\[ AMH\] vuông tại \[H.\]
\[\widehat {MAH} + \widehat {HMA} = 90^\circ \]
hay \[\widehat {MAB} + \widehat {HMA} = 90^\circ \] \[ [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {MBA} = \widehat {HMA}\]
hay\[\widehat {MBH} = \widehat {HMA}\]
Xét \[ AHM\] và \[ MHB:\]
\[\widehat {AHM} = \widehat {MHB} = 90^\circ \]
\[\widehat {MBH} = \widehat {HMA}\]
Suy ra: \[ AHM\] đồng dạng \[ MHB\; [g.g]\]
\[b]\] \[ AHM\] đồng dạng \[ MHB\] [theo câu a]
Suy ra \[\displaystyle{{MH} \over {HA}} = {{HB} \over {HM}} \Rightarrow HA.HB = H{M^2}\]
\[c]\] Ta có: \[HA.HB = H{M^2}\] [theo câu b]
Suy ra\[P[x] = {x^2}\]
Với mỗi giá trị của \[x\] ta có một giá trị xác định của \[P[x].\]
Vậy \[P[x]=x^2\] là một hàm số.