Đề bài
Qua một điểm \[A\] cố định trên trục đối xứng của parabol \[[P]\], ta vẽ một đường thẳng cắt \[[P]\] tại hai điểm \[M\] và \[N\]. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ \[M\] và \[N\] tới trục đối xứng của \[[P]\] là hằng số.
Lời giải chi tiết
[h.124].
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] thích hợp sao cho parabol \[[P]\] có phương trình : \[{y^2} = 2px [p > 0]\] và \[A[a ; 0]\]. Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\] có phương trình : \[\alpha [x - a] + \beta y = 0 [{\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0]\].
Khi đó tung độ các giao điểm của đường thẳng \[\Delta \] và [P] là nghiệm của phương trình:
\[\begin{array}{l}\alpha . \dfrac{{{y^2}}}{{2p}} + \beta y - \alpha a = 0\\ \Leftrightarrow \alpha {y^2} + 2p\beta y - 2p\alpha a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\end{array}\]
Rõ ràng \[\alpha \ne 0\], vì nếu \[\alpha = 0\] thì đường thẳng \[\Delta \] trùng với trục hoành và chỉ cắt \[[P]\] tại một điểm.
Do đó \[|{y_M}|.|{y_N}| = |{y_M}.{y_N}|\]
\[= \left| { - \dfrac{{2p\alpha a}}{\alpha }} \right| = 2p|a|\].