Đề bài
Cho a, b, c, d là bốn số dương. Chứng minh rằng
\[1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2.\]
Lời giải chi tiết
Do a, b, c, d là các số dương nên
\[\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b + c}} > \dfrac{a}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} > \dfrac{b}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} > \dfrac{c}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > \dfrac{{\rm{d}}}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\end{array}\]
Cộng vế với cế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra
\[\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > 1\]
Lại có \[\dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{a + c}};\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < \dfrac{c}{{a + c}}\]
Nên \[\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < 1.\]
Tương tự \[\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 1.\] Từ đó suy ra
\[\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2\]