Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [\[AB > AC\]], M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy I sao cho M là trung điểm của AI.
a] Chứng minh \[AB \bot BI\].
b] Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho \[BE = BA\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm D sao cho \[C{\rm{D}} = CA\]. Chứng minh rằng: \[A{\rm{D}} < A{\rm{E}}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a//b}\\{b \bot c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a \bot c\]
+Tổng 3 góc của 1 tam giác bằng 180 độ
+ Trong tam giác cân 2 góc ở đáy bằng nhau
+Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
Lời giải chi tiết
a] Dễ thấy \[\Delta AMC = \Delta IMB\] [c.g.c] \[ \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat B_1}\][cặp góc so le trong bằng nhau]
\[ \Rightarrow \] AC // BI , mà \[AC \bot AB\] [gt]
\[ \Rightarrow AB \bot BI.\]
b] Ta có \[AB > AC \Rightarrow {\widehat C_1} > {\widehat B_3},\]
Mà \[{\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {180^0}\]
và \[{\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {180^0} \Rightarrow {\widehat C_2} < {\widehat B_2}\] [1]
Xét \[\Delta A{\rm{E}}B\] có \[AB = EB\] [gt] nên \[\Delta AEB\] cân tại B;
Tương tự \[\Delta AC{\rm{D}}\] cân tại C.
Suy ra \[\widehat E = {\widehat A_1} =\dfrac {{{{180}^0} - {{\widehat B}_2}} }{ 2}\]
và \[\widehat D = {\widehat A_4} =\dfrac {{{{180}^0} - {{\widehat C}_2}} }{2}\]
Mà theo [1] \[ \Rightarrow \widehat E < \widehat D\]. Do đó \[A{\rm{D}} < A{\rm{E}}.\]