Đề bài
Chứng minh công thức
\[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
[với \[0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}\]] bằng phương pháp hình học như sau:
Xét tam giác vuông ABC với \[\widehat A = \dfrac{\pi }{2};\widehat {ABC} = \alpha ;\] E là một điểm trên AC sao cho \[\widehat {ABE} = \beta \]. Kẻ AH, EK vuông góc với BC [h.6.8] thì dễ thấy \[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{{BK}}{{BE}} = \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{HK}}{{BE}}\]. Từ đó suy ra công thức trên.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{{BK}}{{BE}} = \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{HK}}{{BE}}\]
\[= \dfrac{{BH}}{{BA}}.\dfrac{{BA}}{{BE}} + \dfrac{{EJ}}{{BE}}\] [HKEJ là hình chữ nhật]
\[\dfrac{{BH}}{{BA}}.\dfrac{{BA}}{{BE}} + \dfrac{{EJ}}{{EA}}.\dfrac{{EA}}{{BE}} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\]