- LG câu a
- LG câu b
Chứng minh các đẳng thức [với \[a, b\] không âm và \[a b\]]
LG câu a
\[\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{2\sqrt a - 2\sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{2\sqrt a + 2\sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{b - a}} \]\[= \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }}\]
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa [căn thức xác định, mẫu khác không nếu bài toán chưa cho]
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử [áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức]
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[{[a \pm b]^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} \cr
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} +{{2b} \over {a- b}} \cr
& = {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} - {{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr &+ {{2b} \over {\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr
& = {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} - {{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2} + 4b} \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b - a + 2\sqrt {ab} - b + 4b} \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr
& = {{4\sqrt b \left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]} \over {2\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}} \cr
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr} \]
[với \[a, b\] không âm và \[a b\] ]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
LG câu b
\[\left[\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} \right]\left [{\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}}\right ]^2 = 1\]
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa [căn thức xác định, mẫu khác không nếu bài toán chưa cho]
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử [áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức]
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[{a^3} + {b^3} = \left[ {a + b} \right]\left[ {{a^2} - ab + {b^2}} \right]\]
\[{[a \pm b]^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right]^2} \cr
& = \left[ {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}}} \right]^2} \cr
& = \left[ {{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right]} \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left[ {{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }}} \right]^2} \cr
& = \left[ {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - \sqrt {ab} } \right]{1 \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} \cr& = \left[ {\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right].{1 \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} \cr
& = {{{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} = 1 \cr} \]
[với \[a, b\] không âm và \[a b\] ]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.