- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng :
LG a
Các hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left[ x \right] = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\] liên tục tại mọi điểm \[x \in\mathbb R\].
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - x + 3\] xác định trên \[\mathbb R\]. Với mọi \[x_0\in\mathbbR\], ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {{x^3} - x + 3} \right] \] \[= x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \[\mathbb R\].
[Có thể khẳng định ngay: Hàm số f[x] là hàm đa thức xác định trên R nên nó liên tục trên R\].
Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R [do \[x^2+1\ne 0, \forall x\]] nên g liên tục trên tập xác định \[D=\mathbb R\].
LG b
Hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\]
liên tục tại điểm \[x = 2\]
Phương pháp giải:
Hàm số y=f[x] liên tục tại \[x_0\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Với mọi \[x 2\], ta có:
\[f\left[ x \right] = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]} \over {x - 2}} = x - 1\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ x-1 \right] = 1 = f\left[ 2 \right]\]
Vậy hàm số f liên tục tại điểm \[x = 2\]
LG c
Hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\]
gián đoạn tại điểm \[x = 1\]
Lời giải chi tiết:
Với mọi\[x 1\], ta có:
\[f[x] = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f[x] \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,[{x^2} + x + 1] = 3 \ne 2 = f[1]\]
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \[x = 1\]