Đề bài
Cho tứ diện đều \[ABCD\] cạnh \[a\]. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều chính là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện.
- Tính toán dựa vào các tính chất tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\],
Ta có: \[\Delta ABC = \Delta DBC[c.c.c]\] \[\Rightarrow AN = DN\] [hai đường trung tuyến tương ứng]
\[\Rightarrow \Delta AND\] cân tại \[N\].
\[\Rightarrow\] Trung tuyến \[MN\] đồng thời là đường cao \[\Rightarrow MN \, \bot\, AD \,\,\, [1]\]
Chứng minh tương tự, \[\Delta MBC\] cân tại \[M \Rightarrow MN\,\bot \,BC \,\,\,\,\, [2]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[MN\] là đường vuông góc chung của \[BC\] và \[AD\].
\[ \Rightarrow d\left[ {AD;BC} \right] = MN\]
Tam giác \[ABN\] vuông tại \[N\] nên:
\[AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} - {{\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]}^2}}\] \[ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[AMN\] ta có:
\[MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy\[d\left[ {AD;BC} \right] = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\].