Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[2a\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[BC, CD\]. Tính \[cos\;\widehat {MAN}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và công thức tính diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
Vì \[M,N\] lần lượt là trung điểm của BC và DC nên \[BM=MC=DN=NC\]\[=2a:2=a\]
Xét tam giác vuông ADN, theo định lý Pytago ta có:
\[A{N^2} = A{D^2} + D{N^2} \]\[= {\left[ {2a} \right]^2} + {a^2} = 5{a^2}\]
\[ \Rightarrow AN = a\sqrt 5 \]
Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pytago ta có:
\[A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} \]\[= {\left[ {2a} \right]^2} + {a^2} = 5{a^2}\]
\[ \Rightarrow AM = a\sqrt 5 \]
Kẻ đường cao \[MH\] của tam giác \[AMN\]. Ta có \[\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\] \[ \Rightarrow HM = AM.\sin \widehat {NAM}\] và diện tích tam giác \[AMN\] là:
\[{S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\]\[ = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \]
\[= \displaystyle {1 \over 2}.a\sqrt 5.a\sqrt 5.\sin \widehat {NAM} \]\[ = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\]
Mặt khác:
\[{S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADN}}\]\[ - {S_{MNC}} \]
\[ = {\left[ {AB} \right]^2} - \dfrac{1}{2}.AB.BM - \dfrac{1}{2}AD.DN - \dfrac{1}{2}MC.NC\]
\[ = {\left[ {2a} \right]^2} - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}a.a\]
\[= 4{a^2} - {a^2}-a^2 - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\]\[ =\displaystyle { {3{a^2}} \over 2}. \]
Từ đó:
\[\begin{array}{l}
{S_{AMN}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\sin \widehat {NAM} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {NAM} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{5{a^2}}}{2}}} = \dfrac{3}{5}
\end{array}\]
Vì\[{\sin ^2}\widehat {NAM} + {\cos ^2}\widehat {NAM} = 1\] nên:
\[\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\]\[ = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}} = \displaystyle {4 \over 5}.\]