Đề bài
Cho tam giác nhọn \[MNP.\] Gọi \[D\] là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ \[M.\] Chứng minh rằng:
a] \[{S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}MP.NP.\sin P;\]
b] \[DP =\dfrac{MN.sinN}{tan P};\]
c] \[DNE\] \[\backsim\] \[MNP,\] trong đó \[E\] là chân đường cao của tam giác \[MNP\] kẻ từ \[P.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có\[AB=c,\,AC=b,\, BC=a\] thì:
\[b=a.sin\,B=a.cos\,C\]
\[b=c.tan\,B=c.cot\,C\]
\[c=a.sin\,C=a.cos\,B\]
\[c=b.tan\,C=b.cot\,B\]
Xét các trường hợp hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \[MD = MP.sin\, P,\] suy ra:
\[{S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}NP.MD \] \[= \dfrac{1}{2}NP.MP\sin P.\]
b]Xét tam giác MDN vuông tại D, ta có: \[MD = MN.sin \,N\]
Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \[MD = DP.tan \,P\]
Suy ra \[DP=\dfrac{{MD}}{{\tan P}}=\dfrac{MN.sin N}{tan P}\]
c] Xét\[\DeltaDMN\] và\[\DeltaEPN\] có:
\[\widehat D = \widehat E\,[ = 9{0^0}]\]
\[\widehat N\] chung
Vậy \[\DeltaDMN\] \[\backsim\]\[\DeltaEPN\] [g-g]
\[ \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\]
Xét\[\DeltaDNE\] và\[\Delta MNP\] có:
\[\widehat N\] chung
\[\dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\]
Vậy \[\DeltaDNE\]\[\backsim\]\[\Delta MNP\] [c-g-c].