Đề bài
Hình bình hành \[ABCD\] có độ dài cạnh \[AB = a = 12,5cm, \] \[BC = b = 7,25cm.\] Đường phân giác của góc \[B\] cắt đường chéo \[AC\] tại \[E\], đường phân giác của góc \[D\] cắt đường chéo \[AC\] tại \[F\] [h.bs.3].
Hãy tính độ dài đường chéo \[AC,\] biết \[EF = m = 3,45cm.\]
[Tính chính xác đến hai chữ số thập phân].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác:Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Tính chất: Hình bình hành có các góc đối bằng nhau, các cạnh đối song song và bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[ABCD\] là hình bình hành nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\].
Mặt khác, \[BE\] và \[DF\] lần lượt là phân giác của các góc \[B\] và \[D\], suy ra \[\widehat {ADF} = \widehat {CBE}= \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}\]
Vì \[AD//BC\] nên \[\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\] [cặp góc so le trong]
Xét \[ ADF \] và \[ CBE\] có:
\[\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\] [cmt]
\[AD = CB = b\] [vì \[ABCD\] là hình bình hành]
\[\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\] [cmt]
\[ ADF = CBE\] [g.c.g]
\[ AF = CE\] [hai cạnh tương ứng].
Đặt \[AF = CE = x\]
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào tam giác \[ABC\] phân giác \[BE\], ta có:
\[\eqalign{ & {{AB} \over {BC}} = {{AE} \over {CE}} = {{AF + FE} \over {CE}} \cr & \Rightarrow {a \over b} = {{x + m} \over x} \cr& \Rightarrow ax = b\left[ {x + m} \right] \cr&\Rightarrow ax = bx + bm \cr&\Rightarrow ax - bx = bm \cr&\Rightarrow x\left[ {a - b} \right] = bm\cr&\Rightarrow x = {{mb} \over {a - b}} \cr} \]
Ta có \[ AC =AF+FE+EC= x + m+x \]\[\,\displaystyle=2x+m = {{2mb} \over {a - b}} + m = {{m\left[ {a + b} \right]} \over {a - b}}\]
Thay số \[a = 12,5cm, \; b = 7,25cm,\]\[\;m = 3,45cm\] ta được:
\[\displaystyle AC = {{3,45\left[ {12,5 + 7,25} \right]} \over {12,5 - 7,25}} \approx 12,98\] \[ [cm].\]