Đề bài
Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \[\overrightarrow {PA} = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \], k là số cho trước [k 1]. Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \[{{QB} \over {QC}}.\]
Lời giải chi tiết
MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \[\overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \].
Đặt \[\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c .\]
Khi đó
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ { - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] \cr & \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}} \cr & = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right] - {k \over 2}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b - 2\overrightarrow a } \right]} \right] \cr & = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right] + {k \over 2}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]} \right] \cr & = {1 \over {2\left[ {1 - k} \right]}}\left[ {\left[ {1 + k} \right]\overrightarrow a + \left[ {k - 1} \right]\overrightarrow b } \right] \cr & = {{k + 1} \over {2\left[ {1 - k} \right]}}\overrightarrow a - {1 \over 2}\overrightarrow {b.} \cr & \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BQ} \cr & = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right] + t\left[ { - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] \cr & = - {1 \over 2}\overrightarrow a + \left[ {{1 \over 2} - t} \right]\overrightarrow b + t\overrightarrow c \cr} \]
Từ đó ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{k + 1} \over {2\left[ {1 - k} \right]}} = - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr - {1 \over 2} = - {1 \over 2}x + y\left[ {{1 \over 2} - t} \right] \hfill \cr 0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow y = - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}} \cr & t = {k \over {k - 1}} \cr} \]
Như vậy
\[\eqalign{ & \overrightarrow {BQ} = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC} = {k \over {k - 1}}\left[ {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {QC} } \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 - {k \over {k - 1}}} \right]\overrightarrow {BQ} = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC} \cr & \Leftrightarrow - \overrightarrow {BQ} = k.\overrightarrow {QC} \cr & \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \]
loigiaihay.com