Đề bài
Dựng hình thang cân \[ABCD\] \[[AB // CD],\] biết hai đáy \[AB = 2cm,\] \[ CD = 4cm,\] đường cao \[AH = 2cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Phân tích:
+] Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+] Chọn ra các yếu tố dựng được ngay [đoạn thẳng, tam giác,...]
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
Phân tích: Giả sử hình thang \[ABCD\] dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác \[ADH\] dựng được vì biết hai cạnh góc vuông \[AH = 2cm\] và \[HD = 1cm,\] \[\widehat H = {90^0}\]. Vì đáy \[AB < CD\] nên \[\widehat D < {90^0}\]. Điểm \[H\] nằm giữa \[D\] và \[C\].
Điểm \[C\] nằm trên tia đối tia \[HD\] và cách \[H\] một khoảng bằng \[3cm\]
Điểm \[B\] thỏa mãn hai điều kiện:
- \[B\] nằm trên đường thẳng đi qua \[A\] và song song với \[DH.\]
- \[B\] cách \[A\] một khoảng bằng \[2cm\]
Cách dựng:
- Dựng \[ AHD\] biết \[\widehat H = 90^0,\] \[AH =2cm,\] \[HD = 1cm\]
- Dựng tia đối của tia \[HD\]
- Trên tia đối của tia \[HD,\] dựng điểm \[C\] sao cho \[HC = 3cm\]
- Dựng tia \[Ax // DH,\] \[Ax\] nằm trên nửa mặt phẳng bờ \[AD\] chứa điểm \[H\]
- Dựng điểm \[B\] trên tia \[Ax\] sao cho \[AB = 2cm.\] Nối \[CB\] ta có hình thang \[ABCD\] cần dựng.
Chứng minh:
Tứ giác \[ABCD\] là hình thang vì \[AB // CD\]
Kẻ \[BK CD.\] Tứ giác \[ABKH\] là hình thang có hai cạnh bên song song
Nên : \[BK = AH\] và \[KH = AB\]
Suy ra: \[KC = HC KH = HC AB\]\[ = 3 2 = 1 \;\;[cm]\]
Vì \[AH=BK\] và \[KC=DH\,[=1cm]\]
Suy ra hai tam giác vuông: \[ AHD = BKC \;\;[c.g.c] \] \[\Rightarrow \widehat D = \widehat C\]
Vậy hình thang \[ABCD\] là hình thang cân.
Hình thang cân \[ABCD\] có: \[AH = 2cm,\] đáy \[AB = 2cm,\] đáy \[CD = 4cm\]
Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: Tam giác \[AHD\] luôn dựng được nên hình thang \[ABCD\] luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.