Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] điểm \[M\] di chuyển trên cạnh \[BC.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[AM.\] Điểm \[I\] di chuyển trên đường nào \[?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+] Các điểm cách đường thẳng \[b\] một khoảng bằng \[h\] nằm trên hai đường thẳng song song với \[b\] và cách \[b\] một khoảng bằng \[h.\]
Lời giải chi tiết
Kẻ \[AH BC,\] \[IK BC\]
\[ AH // IK\]
Trong tam giác \[AHM\] ta có:
\[AI = IM\;\; [gt]\]
\[IK // AH\] [chứng minh trên]
Nên \[K\] là trung điểm của HM [đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba]
Suy ra: \[IK\] là đường trung bình của \[ AHM\]
\[ IK = \displaystyle {1 \over 2}AH\]
\[ ABC\] cố định nên \[AH\] không thay đổi \[ IK = \displaystyle{1 \over 2}AH\] không đổi.
\[I\] thay đổi cách \[BC\] một khoảng bằng \[\displaystyle{{AH} \over 2}\] không đổi nên \[I\] nằm trên đường thẳng song song với \[BC,\] cách \[BC\] một khoảng bằng\[\displaystyle{{AH} \over 2}\].
Khi \[M\] trùng với điểm \[B\] thì \[I\] trùng với \[P\] là trung điểm của \[AB.\]
Khi \[M\] trùng với điểm \[C\] thì \[I\] trùng với \[Q\] là trung điểm của \[AC.\]
Vậy khi \[M\] chuyển động trên cạnh \[BC\] của \[ ABC\] thì trung điểm \[I\] của \[AM\] chuyển động trên đường trung bình \[PQ\] của \[ ABC.\]