Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A\] và \[B.\] Một đường thẳng vuông góc với \[AB\] tại \[B\] cắt các đường tròn \[[O]\] và \[[O']\] theo thứ tự tại \[C\] và \[D\] [ khác \[B\]]. Chứng minh rằng \[OO =\displaystyle {1 \over 2}CD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Vì \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] nên tam giác ABC vuông tại B có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó \[A, O, C\] thẳng hàng.
Vì \[\widehat {ABD} = 90^\circ \]nên tam giác ABD vuông tại B có O' là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó \[A, O', D\] thẳng hàng.
Trong\[ACD\], có:
\[O\] là trung điểm của \[AC\]
\[O'\] là trung điểm của \[AD\]
\[\Rightarrow OO'\] là đường trung bình của \[ACD\] nên \[OO =\displaystyle {1 \over 2}CD\].
Chú ý: 2 trường hợp hình vẽ đều được chứng minh như trên.