Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp[ABC] và SA = h [h > 0]. Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x [0 x a].
a] Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.
b] Tính khoảng cách từ điểm A đến mp[SBM] khi M là trung điểm của CD.
c] Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp[SBM] lần lượt là A1và D1. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A1và D1thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.
Lời giải chi tiết
a] Kẻ \[AK \bot MB\], do \[SA \bot \left[ {ABC} \right]\] nên \[SK \bot MB\] [định lí ba đường vuông góc].
Vậy \[{S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK\]
Mặt khác \[BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}} \] và \[AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab\]
tức là \[AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}\]
Từ đó
\[\eqalign{ & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr} \]
Vậy \[{S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \]
b] Với A1là hình chiếu A trên SK, dễ thấy \[A{A_1} \bot \left[ {SBM} \right]\].
Từ đó \[A{A_1}.SK = SA.AK\]
suy ra \[A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}\]
hay
\[\eqalign{ & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}} \cr & = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr} \]
Khi trung điểm DC thì \[x = {a \over 2}\] nên
\[A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}\]
c] Vì \[A{A_1} \bot \left[ {SMB} \right]\] nên \[A{A_1} \bot SB\] mặt khác \[A{\rm{D}} \bot SB\], từ đó \[mp\left[ {A{\rm{D}}{A_1}} \right] \bot SB.\]
Gọi giao điểm của SB với mp[ADA1] là I thì \[AI \bot SB\], từ đó I là điểm cố định và mp[ADA1] cố định.
Như vậy, điểm A1nhìn AI cố định dưới góc vuông và A1thuộc mặt phẳng cố định [ADI], tức là A1thuộc đường tròn đường kính AI trong mp[ADI].
Bán kính của đường tròn đó bằng \[{{AI} \over 2}\] mà
\[AI.SB = SA.AB\]
hay \[AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\]
Vậy bán kính của đường tròn trên bằng \[{{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\].
Vì D1là hình chiếu của D trên mp[SBM] nên DD1// AA1và dễ thất D1thuộc đường thẳng A1I.
Như vậy, D1thuộc mp[ADI] và D1nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D1thuộc đường tròn đường kính DI trong mp[ADI]. Bán kính của đường tròn đó \[{{DI} \over 2}\].
Mặt khác
\[\eqalign{ & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} \cr & = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr} \]
Từ đó, bán kính của đường tròn đó là
\[{1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}} \]