Đề bài
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.ABCD có đường cao bằng h. Góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt đáy bằng α. Góc giữa đường thẳng AC và mặt đáy bằng β. Tính:
a] Cạnh đáy, trung đoạn của hình chóp cụt;
b] Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đó.
Lời giải chi tiết
Gọi H, H lần lượt là tâm hai đáy ABCD, ABCD. I, I lần lượt là trung điểm của CD, CD thì \[HH' = h;\widehat {A'CA} = \beta ;\widehat {I'IH} = \alpha .\]
Dễ thấy \[II' = {h \over {\sin \alpha }}\] .
Kí hiệu độ dài cạnh của các đáy ABCD, ABCD lần lượt là x, y [x > y].
Ta có
\[\eqalign{ & {{x - y} \over 2} = h\cot \alpha \cr & \Leftrightarrow x - y = 2h\cot \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Kẻ AK // HH thì AK = HH = h và
\[\eqalign{ & KC = A'K\cot \beta \,\, \cr & hay\,\,x\sqrt 2 - {{x\sqrt 2 - y\sqrt 2 } \over 2} = h\cot \beta \cr} \]
Từ đó
\[\eqalign{ & {{\left[ {x + y} \right]\sqrt 2 } \over 2} = h\cot \beta \cr & \Leftrightarrow x + y = \sqrt 2 h\cot \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Từ [1] và [2] ta có \[x = {h \over 2}\left[ {\sqrt 2 \cot \beta + 2\cot \alpha } \right]\]
\[y = {h \over 2}\left[ {\sqrt 2 \cot \beta - 2\cot \alpha } \right]\]
[điều kiện \[\sqrt 2 \cot \beta - 2\cot \alpha > 0\] ]
b]
\[\eqalign{ & {S_{xq}} = 4.{1 \over 2}\left[ {x + y} \right]II' \cr & = 2\sqrt 2 h\cot \beta .{h \over {\sin \alpha }} \cr & = {{2\sqrt 2 {h^2}\cot \beta } \over {\sin \alpha }}. \cr} \]